Mit Hilfe von Spaghetti und farbwechselnden Fasern sagt ein neues mathematisches Modell die Stabilität eines Knotens voraus.

Die Mathematiker und Ingenieure des MIT haben ein mathematisches Modell entwickelt, das die Stabilität eines Knotens vorhersagt. Es basiert auf mehreren Schlüsseleigenschaften, darunter die Anzahl der beteiligten Kreuzungen und die Richtung, in der sich die Seilsegmente beim Anziehen des Knotens verdrehen.

Diese subtilen Unterschiede zwischen den Knoten bestimmen entscheidend, ob ein Knoten fest ist oder nicht“, sagt Jörn Dunkel, außerordentlicher Professor für Mathematik am MIT. “Mit diesem Modell sollte man zwei fast identische Knoten betrachten und sagen können, welcher der bessere ist.

Über Jahrhunderte verfeinertes empirisches Wissen hat herauskristallisiert, was die besten Knoten sind“, ergänzt Mathias Kolle, der Rockwell International Career Development Associate Professor am MIT. “Und jetzt zeigt das Modell, warum.”

Dunkel, Kolle und die Doktoranden Vishal Patil und Joseph Sandt haben heute ihre Ergebnisse in der Zeitschrift Science veröffentlicht.

Die Farbe des Drucks

Im Jahr 2018 hat Kolles Gruppe dehnbare Fasern entwickelt, die ihre Farbe bei Belastung oder Druck verändern. Die Forscher zeigten, dass sich beim Ziehen an einer Faser der Farbton von einer Regenbogenfarbe zur anderen ändert, vor allem in den Bereichen, die am stärksten beansprucht werden oder unter Druck stehen.

Kolle, außerordentlicher Professor für Maschinenbau, wurde von der mathematischen Abteilung des MIT eingeladen, um einen Vortrag über die Fasern zu halten. Dunkel war im Publikum und fing an, sich eine Idee auszudenken: Was wäre, wenn man mit den drucksensitiven Fasern die Stabilität in Knoten untersuchen könnte?

Mathematiker sind seit langem von Knoten fasziniert, so dass physikalische Knoten ein ganzes Teilgebiet der Topologie inspiriert haben, die Knotentheorie – die Untersuchung theoretischer Knoten, deren Enden im Gegensatz zu tatsächlichen Knoten zu einem durchgehenden Muster verbunden sind.

In der Knotentheorie versuchen die Mathematiker, einen Knoten mit allen Möglichkeiten, ihn zu verdrehen oder zu verformen, mathematisch zu beschreiben, ohne seine Topologie oder allgemeine Geometrie zu verändern.

In der mathematischen Knotentheorie wirft man alles weg, was mit der Mechanik zu tun hat“, sagt Dunkel. “Es ist Ihnen egal, ob Sie eine steife oder weiche Faser haben – aus Sicht eines Mathematikers ist es derselbe Knoten. Aber wir wollten sehen, ob wir der mathematischen Modellierung von Knoten etwas hinzufügen können, das ihre mechanischen Eigenschaften berücksichtigt, um sagen zu können, warum ein Knoten stärker ist als der andere“.

Spaghetti-Physik

Dunkel und Kolle haben sich zusammengetan, um herauszufinden, was die Stabilität eines Knotens bestimmt. Das Team benutzte zuerst die Fasern von Kolle, um eine Vielzahl von Knoten zu knüpfen, einschließlich des Kleeblatts und der Achtknoten – Konfigurationen, die Kolle, der ein begeisterter Segler ist, und den Felskletterern aus Dunkels Gruppe vertraut waren. Sie fotografierten jede Faser und notierten, wo und wann die Faser ihre Farbe änderte, zusammen mit der Kraft, die auf die Faser ausgeübt wurde, als sie zusammengezogen wurde.

Mit den Daten aus diesen Experimenten kalibrierten die Forscher ein Modell, das Dunkels Gruppe zuvor zur Beschreibung einer anderen Faserart eingesetzt hatte: Spaghetti. In diesem Modell beschrieben Patil und Dunkel das Verhalten von Spaghetti und anderen flexiblen, seilartigen Strukturen, indem sie jeden Strang als eine Kette von kleinen, diskreten, federnd verbundenen Perlen behandelten. Die Art und Weise, wie sich jede Feder biegt und verformt, kann aufgrund der Kraft, die auf jede einzelne Feder ausgeübt wird, berechnet werden.

Kolles Schüler Joseph Sandt hatte zuvor eine Farbkarte auf der Basis von Experimenten mit den Fasern erstellt, die die Farbe einer Faser mit einem gegebenen Druck, der auf diese Faser ausgeübt wird, korreliert. Patil und Dunkel bauten diese Farbkarte in ihr Spaghetti-Modell ein und simulierten damit die gleichen Knoten, die die Forscher mit den Fasern physikalisch geknüpft hatten. Als sie die Knoten in den Experimenten mit denen in den Simulationen verglichen, stellten sie fest, dass das Farbmuster in beiden praktisch gleich war – ein Zeichen dafür, dass das Modell die Spannungsverteilung in den Knoten genau simuliert.

Mit Vertrauen in ihr Modell simulierte Patil dann kompliziertere Knoten, wobei er darauf achtete, welche Knoten mehr Druck erfahren und daher stärker sind als andere Knoten. Nachdem sie die Knoten anhand ihrer relativen Stärke kategorisiert hatten, suchten Patil und Dunkel nach einer Erklärung, warum bestimmte Knoten stärker waren als andere. Dazu zeichneten sie einfache Diagramme für die bekannten Oma-, Riff-, Dieb- und Trauerknoten, aber auch kompliziertere, wie z.B. den Kreuzknoten, den Zeppelin und den Alpenfalter.

Jedes Knotendiagramm stellt das Muster der beiden Stränge eines Knotens dar, bevor er festgezogen wird. Die Forscher haben die Richtung jedes Segments eines Stranges beim Ziehen und die Kreuzungspunkte der Stränge mit einbezogen. Sie stellten auch fest, in welcher Richtung sich jedes Segment eines Stranges dreht, wenn ein Knoten festgezogen wird.

Durch den Vergleich der Diagramme von Knoten unterschiedlicher Stärke konnten die Forscher allgemeine “Zählregeln” oder Merkmale identifizieren, die die Stabilität eines Knotens bestimmen. Grundsätzlich ist ein Knoten dann stärker, wenn er mehr Strangüberkreuzungen sowie mehr “Drehschwankungen” – Änderungen der Drehrichtung von einem Strangsegment zum anderen – aufweist.

Wird z.B. ein Fasersegment an einer Kreuzung nach links und an einer benachbarten Kreuzung nach rechts gedreht, wenn ein Knoten angezogen wird, entsteht eine Drehschwankung und damit eine entgegengesetzte Reibung, die die Stabilität eines Knotens erhöht. Wird das Segment jedoch an zwei benachbarten Kreuzungen in die gleiche Richtung gedreht, gibt es keine Drehschwankung, und der Strang dreht sich eher und rutscht, wodurch ein schwächerer Knoten entsteht.

Sie fanden auch heraus, dass ein Knoten stärker gemacht werden kann, wenn er mehr “Zirkulationen” hat, die sie als einen Bereich in einem Knoten definieren, in dem sich zwei parallele Stränge in entgegengesetzter Richtung gegeneinander schlingen, wie ein kreisförmiger Fluss.

Unter Berücksichtigung dieser einfachen Zählregeln konnte das Team erklären, warum z.B. ein Riffknoten stärker ist als ein Oma-Knoten. Während die beiden fast identisch sind, hat der Riffknoten eine höhere Anzahl an Drehschwankungen, was ihn zu einer stabileren Konfiguration macht. Ebenso ist der Zeppelin-Knoten aufgrund seiner etwas höheren Umläufe und Drehschwankungen stärker, wenn auch möglicherweise schwieriger zu lösen als der alpine Schmetterlingsknoten – ein Knoten, der üblicherweise beim Klettern verwendet wird.

Wenn man eine Familie ähnlicher Knoten nimmt, von denen empirische Erkenntnisse einen als “den besten” herausstellen, können wir jetzt sagen, warum er diese Auszeichnung verdient“, sagt Kolle, der sich vorstellt, dass sich mit dem neuen Modell Knoten unterschiedlicher Stärke für bestimmte Anwendungen konfigurieren lassen. “Wir können die Knoten gegeneinander ausspielen, um sie beim Nähen, Segeln, Klettern und Bauen zu verwenden. Das ist wunderbar.”

Diese Forschung wurde zum Teil von der Alfred P. Sloan Foundation, der James S. McDonnell Foundation, dem Gillian Reny Stepping Strong Center for Trauma Innovation am Brigham and Women’s Hospital und der National Science Foundation unterstützt.

Pressrelease/Source: MIT